Sådan grafiseres Sine, Cosine, tangent ved hånd

Plus deres gengældelser: Cosecant, Secant, Cotangent Graphs

I vores moderne verden kan det se ud som, at graffunktioner i hånden er ... ja ... lidt arkaisk. Når du nemt kan indtaste en hvilken som helst funktion, du ønsker i Desmos eller Wolfram Alpha fra komforten på din telefon, hvorfor skal du lære at grafikfunktioner på lang tid? Især de mere komplicerede funktioner som dem, vi støder på i trigonometri?

Godt ud over den åbenlyse sandsynlighed for, at du læser dette, fordi i et Trigonometri-, Precalculus- eller Calculus-kursus kræver din instruktør, at du skal grafisk sans teknologi, vil jeg gerne fremlægge argumentet om, at sand forståelse kun kan opnås gennem * at gøre *. Faktum er, at du ikke kan lære matematik ved at stå på sidelinjen. Matematik er en deltagende sport. Du kan læse om matematik, lytte til foredrag, se andre mennesker lave matematik, men hvis du faktisk ikke griber en blyant og papir og kæmper gennem problemerne, lærer du aldrig matematik.

I en dag og alder, hvor vi så let misforstår at tale om at gøre ting som faktisk at gøre ting, forbliver matematik en af ​​de discipliner, der ikke kan forfalskes. Hvis du kæmper for at komme videre i matematik, så spørg dig selv, om du faktisk PRAKTIKERER matematik, eller tænker du - eller snakker - om at lave matematik i stedet?

Bemærk her, hvordan vi siger "at praktisere matematik", ligesom du træner et instrument eller en sport, er du en nybegynder, der søger forbedring, uanset hvilket matematikniveau, du i øjeblikket er på. Ja, du får forkerte problemer. Ja, du bliver forvirret. Ja, du har spørgsmål og har brug for hjælp. Det er bare en del af den praksis.

Okay, nok med den rigtige snak. Lad os hoppe ind i at tegne nogle trigonometriske grafer!

 insta

Hvad er en overordnet funktion?

Du har sandsynligvis hørt udtrykket Forældrefunktion i forhold til grafer. Forældrefunktioner er OG'erne for funktioner. Det er de uændrede former for dine ligninger. Arketyperne. For eksempel er ligningen y = x den overordnede lineære funktion; ligningen y = 2x + 1 er stadig en lineær funktion, men det er ikke den overordnede funktion. Det er en ændret form af forælderen, hvor vi har ændret hældningen og y-skæringen.

Denne idé om forældrefunktioner gælder for alle typer funktioner. I trigonometri er vores overordnede funktioner: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = csc x, y = sec x og y = cot x.

Dette er de funktioner, du primært vil arbejde med i trigonometri (selvom du, når du skrider frem, kan du lære om andre interessante funktioner, såsom de inverse eller hyperboliske trig-funktioner). Så dette er de funktioner, vi lærer at tegne i dag!

MVP'erne: Sine, Cosine og Tangent

Disse tre funktioner er bestemt trigestjernerne. Du husker sandsynligvis disse funktioner fra geometri, da du først blev introduceret til trigonometri i højre trekant. Selvom graferne over Sine, Cosine og Tangent kan virke helt forskellige fra det, du lærte inden for geometri, oplever vi virkelig bare et nyt billede af det samme geometriske koncept.

SOH CAH TOA | Højre trekanttrig

Sinus, kosinus og tangens repræsenterer stadig SOH CAH TOA, men i trigonmetri lærer vi om nogle nye og kreative måder, vi kan repræsentere denne information på.

I det væsentlige skal vi, hvad vi har gjort her, skalere vores specielle højre trekanter, så deres hypotenuse er en enhed i længden, organiserede dem omkring oprindelsen af ​​et xy-koordinatplan og udvekslede konceptet med grader for radianer (som kun er vinkler målt i i forhold til en cirkulær rotation).

Når vi lægger alle disse trekanter rundt om oprindelsen, kan vi forbinde de yderste punkter til at danne en cirkel, der har en radius på 1 enhed. Denne cirkel er enhedskredsen og et af de vigtigste emner i trig!

Nu kan løgnene på cirklens omkreds oversættes til de grafer, vi skal udforske i dag.

  • I henhold til SOH CAH TOA ser vi, at x-koordinaten vedrører kosinusværdien (output) ved den givne vinklerotation (input).
  • Y-koordinaten vedrører sinusværdien (output) ved den givne vinklerotation (input).
  • Og til sidst kan tangent defineres som kosinus divideret med sinus, så kvotienten y / x er tangentværdien (output) ved den givne rotation (input).

Nu kan vi tegne et billede af denne information, som vi har samlet fra enhedskredsen ved at oprette en graf, hvor x-aksen repræsenterer rotationen i radianer, og y-aksen repræsenterer værdien af ​​vores sinus-, cosinus- eller tangentfunktioner ved den givne vinkel.

Når jeg skriver dette, er jeg klar over, at dette er et kompliceret sæt af forhold at forstå, så jeg vil sammensætte en separat tutorial for at forklare, hvordan disse koncepter alle relaterer, men indtil da bærer mig!

I den følgende videotutorial demonstrerer jeg, hvordan man grafiserer funktionerne Sine, Cosine og Tangent ved hjælp af et simpelt mønster og deres periodiske karakter (dvs. gentagne), og så relaterer jeg dem tilbage til Enhedskredsen, så du kan se, hvor disse punkter kommer fra

Den anden streng: Cosecant, Secant, Cotangent

De andre tre funktioner, du vil støde på i grundlæggende trigonometri, er Cosecant, Secant og Cotangent. Disse funktioner omtales ofte som gensidighederne til Sine, Cosine og Tangent, fordi de er defineret af de gensidige (dvs. vendt omvendte) forhold mellem SOH CAH TOA.

Csc, Sec og Cot er gengældelsen af ​​Sin, Cos og Tan

Vi kan bruge disse gensidige identiteter til at hjælpe os med let at tegne Csc, Sec og Cot baseret på vores viden om Sin, Cos og Tan. Tjek det ud ⬇

Avanceret emne: Trig Graph Transformations

Så nu, hvor vi har lært om de seks almindelige forældrefunktioner i trigonometri, er vi klar til at se på, hvordan vi kan manipulere overordnede funktioner til at oprette og tegne interessante grafer for hånd - hvilket er en af ​​hovedårsagerne til, at vi har brug for vide, hvordan man tegner overordnede funktioner manuelt!

Når du først har fået en solid fornemmelse af, hvordan du diagrammer dine overordnede funktioner, kan du anvende nogle grundlæggende matematiske principper for at give graferne for enhver variation af dine overordnede funktioner

I den følgende tutorial forklarer jeg, hvordan vi kan ændre en overordnet funktion til at producere x- og y-akse refleksioner, vandrette og lodrette strækninger, kompressioner og forskydninger. Gå videre til 14 minutter ind for at se tre eksempler på grafer af transformerede tangenter, Cosine og Sine grafer.

Brug for mere hjælp til matematik?

  • Se Math Hacks på YouTube for flere praktiske matematikstudier, der dækker populære emner fra Algebra, Trigonometry, Precalculus og Combinatorics med nye videoer tilføjet ugentligt.
  • Du kan finde et antal interessante matematiske emner og problemer lige her på Medium, bare klik på den følgende knap!

Tak, fordi du kom med!

❤ Brett